Modellbasierter Reglerentwurf für verformbare Membranspiegel in der adaptiven Optik

In hochpräzise optische Systeme werden zur Leistungssteigerung zunehmend elektro-mechanische und elektrische Komponenten integriert. Dadurch können die optischen Eigenschaften dieser adaptiven optischen Systeme gezielt beeinflusst und z.B. im Betrieb entstehende Abbildungsfehler in Echtzeit korrigiert werden. Speziell in der Astronomie wurden in den letzten zehn Jahren große Fortschritte bei der Verwendung verformbarer Sekundärspiegel zur aktiven Turbulenzkorrektur während der Beobachtung von Himmelsobjekten erzielt. Die typischerweise ein Meter großen verformbaren Spiegel verfügen über mehrere hundert bis tausend punktförmige Aktoren und Sensoren und werden im Kilohertz-Takt zur Störgrößenkompensation im adaptiven optischen System angesteuert. Eine Positionsregelung der verformbaren Spiegel basiert bisher auf lokalen Positions- und Geschwindigkeitsrückführungen und wird entweder experimentell oder anhand approximativer Modelle ausgelegt. In dieser Arbeit wird ein modellbasierter Reglerentwurf zur Leistungssteigerung von verformbaren Spiegeln in optischen Systemen bezüglich Positioniergenauigkeit und -geschwindigkeit entwickelt. Das zugrunde liegende detaillierte mathematische Modell des verformbaren Spiegels wird aus physikalischen Betrachtungen eines infinitesimalen Volumenelements der Spiegelplatte entsprechend der Kirchhoff’schen Annahmen hergeleitet. Die resultierende lineare partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Spiegeldynamik wird durch physikalisch motivierte rotationssymmetrische Randbedingungen ergänzt und bezüglich Lösbarkeit untersucht. Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung wird mit Hilfe der Fundamentallösung und unter Verwendung der Green’schen Funktion in Spektralform formuliert. Um die Grenzen des linearen Modells aufzuzeigen, wird ein nichtlineares Vergleichsmodell nach der von Kármán’schen Plattentheorie hergeleitet, eine numerische Lösung des resultierenden nichtlinearen partiellen Differentialgleichungssystems bestimmt und mit dem linearen Modell verglichen. Zur Durchführung der experimentellen Parameteridentifikation des linearen Plattenmodells stand ein verformbarer Membranspiegel der Firma Alpao mit 88 puntkförmigen Aktoren zur Verfügung. Für diesen Membranspiegel werden modale Eingänge durch optische Messverfahren bestimmt. Der modellbasierte Reglerentwurf erfolgt in modalen Koordinaten und basiert auf einer Zwei- Freiheitsgrade-Struktur zur getrennten Gestaltung des Führungs- und Störgrößenverhaltens. Der Vorsteuerungsentwurf berücksichtigt relevante dynamische und statische Anteile des verformbaren Spiegels und wird durch experimentelle Ergebnisse validiert. Die Rückführung wird durch Minimierung eines quadratischen Gütekriteriums als LQ-Regler in modalen Koordinaten entworfen und zur Realisierung in physikalische Koordinaten transformiert. Die resultierende Reglerstruktur wird im Hinblick auf eine Echtzeitimplementierung untersucht und simulativ zur Positionsregelung des verformbaren Sekund¨arspiegels des Large Binocular Telescope (LBT) eingesetzt.